1.1. Степень с натуральным показателем

Степень с натуральным показателем. Пусть $n$ — натуральное число, большее $1$. Произведение $n$ множителей, каждый из которых равен $a$, называется $n$-й степенью числа $a$: $a^{n} = \underbrace{a \cdot a \cdot \ldots \cdot a}_{n \text{ раз}}$. Здесь $a$ — основание степени (повторяющийся множитель), $n$ — показатель степени (число множителей). Запись $a^{n}$ читается «$a$ в $n$-й степени». Первая степень — само число: $a^{1} = a$. Нахождение значения степени называется возведением в степень.

Правила:

1. Вторую степень числа называют квадратом, третью — кубом. Площадь квадрата со стороной $a$ равна $S = a^{2}$, объём куба с ребром $a$ равен $V = a^{3}$.

2. Любая натуральная степень положительного числа — положительное число. $0^{n} = 0$, $1^{n} = 1$.

3. Чётная степень отрицательного числа — положительное число, нечётная — отрицательное: $(-a{)}^{}$, если чётное; , если нечётное.

4. $(-3)^{2}$ и $-3^{2}$ — разные выражения: $(-3)^{2} = (-3) \cdot (-3) = 9$, а . Если скобок нет, в степень возводится только число, а знак минус ставится потом. Десятичную дробь при возведении в степень записываем в скобках: .

Пример 1: $(-0{,}3)^{3} = (-0{,}3) \cdot (-0{,}3) \cdot (-0{,}3) = -0{,}027$ (показатель нечётный, поэтому результат отрицательный).

Пример 2: $-2^{4} + (-3)^{2} = -16 + 9 = -7$.

Пример 3: последняя цифра числа $8^{25}$. Последние цифры чисел $8^{1}, 8^{2}, 8^{3}, 8^{4}, 8^{5}, \ldots$: — повторяются через каждые шага. , поэтому последняя цифра такая же, как у , то есть .

Частая ошибка: считать $2^{3} = 6$, умножая основание на показатель (правильно $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$); путать $-3^{2}$ и ; в выражении сначала умножать и считать .