1.2. Умножение и деление степеней с одинаковыми основаниями. Нулевая степень

В произведении $a^{3} \cdot a^{4}$ множитель $a$ повторяется сначала $3$ раза, затем ещё $4$ раза, всего $3 + 4 = 7$ раз: $a^{3} \cdot a^{4} = a^{7}$. Отсюда следуют основные свойства степени.

1. Умножение степеней с одинаковыми основаниями: $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$. Основание остаётся прежним, а показатели складываются. Правило верно и для трёх и более множителей: $$. Помните: .

4. Приведение к одному основанию. Число удобно записать в виде степени нужного основания: $8 = 2^{3}$, $81 = 3^{4}$, $125 = 5^{3}$. Тогда .

Пример 1: $x^{6} \cdot x^{5} \cdot x^{2} \cdot x = x^{6+5+2+1} = x^{14}$.

Пример 2: $\dfrac{2^{10} \cdot 2^{5}}{2^{13}} = \dfrac{2^{15}}{2^{13}} = 2^{2} = 4$ — без вычисления степеней, быстро по свойствам.

Пример 3: $2^{n} + 2^{n} = 2 \cdot 2^{n} = 2^{n+1}$ — одинаковые слагаемые заменили умножением.

Частая ошибка: перемножать или делить показатели ($a^{3} \cdot a^{4} = a^{12}$, $a^{10} : a^{2} = a^{5}$ — неверно); перемножать основания ( — неверно); применять правило к сумме (, ); писать (верно ).