1.4. Степень с целым отрицательным показателем

Степень с целым отрицательным показателем. Степенью $-n$ числа $a \ne 0$ ($n$ — натуральное число) называют число, обратное $a^{n}$: $a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}$, где $a \ne 0$. Такую запись называют заменой степени с отрицательным показателем дробью. Натуральные, нулевой и отрицательные показатели вместе образуют степень с целым показателем.

Правила:

1. В степенях числа $10$ при уменьшении показателя на $1$ значение уменьшается в $10$ раз: $10^{2} = 100$, $10^{1} = 10$, , , , . В числе после запятой стоит цифр. Поэтому очень малые числа записывают кратко: .

2. Дробь с числителем $1$ можно записать в виде степени с отрицательным показателем: $\dfrac{1}{27} = \dfrac{1}{3^{3}} = 3^{-3}$; .

Пример 1: $12^{-2} = \dfrac{1}{12^{2}} = \dfrac{1}{144}$; .

Пример 2: $\left(-\dfrac{1}{5}\right)^{-3} = (-5)^{3} = -125$.

Пример 3: $4^{-1} + \left(\dfrac{2}{5}\right)^{-1} = \dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{2} = 2\dfrac{3}{4}$.

Частая ошибка: писать $2^{-3} = -8$ или $2^{-3} = -6$ (отрицательный показатель не делает число отрицательным, он даёт обратное число: $$); путать и : , а .