1.5. Свойства степени с целым показателем

Свойства степени с натуральным показателем выполняются и для любого целого показателя. Здесь $a^{0} = 1$ и $a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}$ ($a \ne 0$).

Свойства. Для любых целых $m$ и $n$ и $a \ne 0$, $b \ne 0$:

1. $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$ — при умножении степеней с одинаковыми основаниями основание не меняется, показатели складываются.

2. $$ — при делении показатели (теперь можно и при : ).

Вычисление числового выражения: все основания приводим к степеням одного числа ($4 = 2^{2}$, $8 = 2^{3}$, $0{,}5 = 2^{-1}$), затем применяем свойства. Если показатели одинаковые, удобно применить свойство 4 в обратную сторону: . Основание не должно быть нулём: выражение не имеет смысла.

Пример 1: $x^{-7} \cdot x^{3} : x^{-6} = x^{-7+3-(-6)} = x^{2}$.

Пример 2: $(-3x^{-4}y^{2})^{-2} = (-3)^{-2}x^{8}y^{-4} = \dfrac{x^{8}}{9y^{4}}$.

Пример 3: $\dfrac{2^{-5} \cdot 4^{3}}{8^{-1}} = \dfrac{2^{-5} \cdot 2^{6}}{2^{-3}} = 2^{-5+6+3} = 2^{4} = 16$.

Частая ошибка: перемножать показатели в $a^{-3} \cdot a^{5} = a^{-15}$ (правильно $a^{2}$); считать, что (правильно : отрицательный показатель не меняет знак числа); не возводить в степень в выражении (правильно ); забывать скобки при : .