1.6. Преобразование выражений, содержащих степени

Преобразовать выражение, содержащее степени, — значит упростить его или удобным способом найти его значение. Для этого применяем свойства степени с целым показателем ($a \neq 0$, $b \neq 0$, $m$ и $n$ — целые числа):

$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$, $a^m:a^n$, , , , , .

Основные приёмы:

1. Приведение к одному основанию. Записываем числа в виде степеней одного основания: $4 = 2^{2}$, $8 = 2^{3}$, $0{,}5 = 2^{-1}$, .

4. Сравнение. Приводим степени к одному основанию или к одному показателю. Если основание больше $1$, то больше та степень, у которой больше показатель. Если показатели равны и натуральны, то больше та степень, у которой больше (положительное) основание.

5. Числовая последовательность — числа, записанные по определённому закону: $a_{1};\ a_{2};\ a_{3};\ \dots$ Здесь — последовательности (общий член). Например, в последовательности имеем .

6. Последняя цифра. Последние цифры степеней повторяются: для $2^{n}$ это $2, 4, 8, 6, 2, \dots$ (через каждые $4$ шага).

Пример 1: $\dfrac{25^{5} \cdot 36^{4}}{30^{7}} = \dfrac{5^{10} \cdot 6^{8}}{5^{7} \cdot 6^{7}} = 5^{3} \cdot 6 = 750$.

Пример 2: сравним $3^{40} \cdot 2^{40}$ и $33^{20}$: $3^{40}\cdot 2^{40}=$.

Пример 3: $S = 1 + 2 + 2^{2} + \dots + 2^{9}$. Тогда , а , то есть .

Частая ошибка: писать $2^{10} + 2^{10} = 2^{20}$ (правильно $2 \cdot 2^{10} = 2^{11}$); писать (правильно ); путать и : , а .