1.7. Стандартный вид числа

Для краткой записи очень больших и очень малых чисел используют стандартный вид числа. Стандартный вид положительного числа — это его запись в виде $a \cdot 10^{n}$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. $a$ — значащая часть числа (мантисса), $n$ — порядок числа. Например, расстояние от Солнца до Земли $150\,000\,000$ км $= 1{,}5 \cdot 10^{8}$ км: значащая часть $1{,}5$, порядок $8$.

Правила:

1. Большое число. Ставим запятую после первой цифры. На сколько мест запятая сдвинулась влево, таким и будет $n$: $1\,300\,000 = 1{,}3 \cdot 10^{6}$.

2. Малое число (между $0$ и ). Ставим запятую после первой ненулевой цифры. На сколько мест запятая сдвинулась вправо, таким по модулю будет отрицательное : .

3. Порядок показывает величину числа. Если порядок равен $3$, то $1\,000 \le x < 10\,000$; если порядок равен $-2$, то $0{,}01 \le x < 0{,}1$. Большой положительный порядок — очень большое число, большой по модулю отрицательный порядок — очень малое число.

4. Сравнение. Если порядки равны, сравниваем значащие части: $3{,}5 \cdot 10^{7} > 2 \cdot 10^{7}$. Если порядки разные, больше то число, у которого больше порядок: $\mathrm{9,9}\cdot {10}^6<2\cdot$.

Пример 1: $(4 \cdot 10^{-3}) \cdot (5 \cdot 10^{9}) = 20 \cdot 10^{6} = 2 \cdot 10^{7}$.

Пример 2: $3{,}21 \cdot 10^{7} + 8{,}7 \cdot 10^{7} = 11{,}91 \cdot 10^{7} = 1{,}191 \cdot 10^{8}$.

Пример 3: $0{,}000\,000\,003$ м $= 3 \cdot 10^{-9}$ м: запятая сдвинулась на $9$ мест вправо.

Частая ошибка: не приводить значащую часть к промежутку $1 \le a < 10$ ($15 \cdot 10^{5}$, $0{,}3 \cdot 10^{8}$ — не стандартный вид); перемножать показатели степеней при умножении (писать ); брать порядок малого числа положительным: , а не ; сразу складывать значащие части чисел разного порядка.