1.8. Приближённые значения. Абсолютная и относительная погрешности

При измерениях и вычислениях мы чаще получаем не точное значение величины, а её приближённое значение: $\pi \approx 3{,}14$, $\dfrac{1}{3} \approx 0{,}33$. Запись $x \approx a$ читается «$x$ приближённо равно $a$».

Основные понятия и правила ($x$ — точное значение, $a$ — приближённое):

1. Если приближённое значение меньше точного, его называют приближением с недостатком, если больше — с избытком. Приближения числа $5{,}748$ с точностью до $0{,}01$: $5{,}74$ (с недостатком) и $5{,}75$ (с избытком).

2. Правило округления. Если первая отбрасываемая цифра меньше $5$, последняя сохраняемая цифра не меняется; если она равна или больше , последнюю сохраняемую цифру увеличиваем на . Отброшенные цифры целой части заменяем нулями: ; (до тысяч). Погрешность округления не превосходит половины единицы последнего сохранённого разряда.

3. Абсолютная погрешность — модуль разности точного и приближённого значений: $\Delta = |x - a|$. Она никогда не бывает отрицательной: $|5{,}748 - 5{,}75| = |-0{,}002| = 0{,}002$.

5. Относительная погрешность — отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения. Её обычно выражают в процентах: $\varepsilon = \dfrac{|x - a|}{|a|} \cdot 100\%$. Если $x$, то .

Пример 1: $\dfrac{2}{9} \approx 0{,}22$. $\Delta = \left|\dfrac{2}{9} - \dfrac{22}{100}\right| = \dfrac{|200 - 198|}{900} = \dfrac{1}{450}$.

Пример 2: $x = (0{,}2 \pm 0{,}1)$ см и $y = (200{,}0 \pm 0{,}1)$ см. Абсолютные погрешности одинаковы, но , а . Значит, измерено гораздо точнее.

Пример 3: площадь территории $146\,219$ км². В стандартном виде: $1{,}46 \cdot 10^{5}$ км². $\Delta = |146\,219 - 146\,000| = 219$ км², .

Частая ошибка: брать абсолютную погрешность без модуля (писать $5{,}37 - 5{,}4 = -0{,}03$); в относительной погрешности делить не на приближённое значение, а на точное или на другое число; считать, что измерение с меньшей абсолютной погрешностью всегда точнее; считать записи $2{,}4$ и $2{,}40$ одинаково точными.