2.3. Многочлен. Стандартный вид и степень многочлена

Многочлен — алгебраическая сумма нескольких одночленов. Например, $2ax^{2} + by^{2} - x + 7y - 9$ — многочлен. Одночлены, из которых состоит многочлен, называют его членами: здесь это $2ax^{2}$, $by^{2}$, $-x$, $7y$ и $-9$. Знак перед членом относится к этому члену. Член без букв ($-9$) называют свободным членом.

1. Многочлен из двух членов — двучлен ($3x - 5$), из трёх членов — трёхчлен ($a^{2} - ab + 2$). Сам одночлен считают многочленом, состоящим из одного члена.

2. Одинаковые или отличающиеся только коэффициентами одночлены называют подобными членами: $6a{x}^{}$ и — подобные, а и — не подобные. Свободные члены тоже подобны между собой.

4. Многочлен, каждый член которого записан в стандартном виде и среди членов которого нет подобных, называют многочленом стандартного вида. Чтобы привести многочлен к стандартному виду, приводим к стандартному виду каждый его член, приводим подобные члены и записываем члены в порядке убывания их степеней (порядок членов одинаковой степени не важен).

5. Наибольшую из степеней членов многочлена стандартного вида называют степенью многочлена. Степень многочлена $2x^{2}y^{3} + 5x^{4} - 3x^{3} + 7$ равна , так как степень члена равна . Число, не равное нулю, — многочлен нулевой степени.

6. Чтобы найти значение многочлена, выгодно сначала привести его к стандартному виду, а затем подставить значения букв.

Пример 1: $3a \cdot 5b + 3ab + 2a \cdot (-4b) + b \cdot b = 15ab + 3ab - 8ab + b^{2} = 10ab + b^{2}$.

Пример 2: $5x^{3} - 8x^{5} + 44 - 10x^{3} + 7x^{5} - 68 = -x^{5} - 5x^{3} - 24$. При : .

Частая ошибка: приводить неподобные члены (писать $2x^{2} + 3x = 5x^{3}$); складывать показатели при приведении ($x^{2} + x^{2} = x^{4}$, правильно ); терять минус перед членом; определять степень, не приведя подобные: степень многочлена равна не , а .