2.5. Умножение одночлена на многочлен

Умножение одночлена на многочлен основано на распределительном свойстве умножения: $a(b + c) = ab + ac$. Многочлен — алгебраическая сумма одночленов, поэтому это свойство верно для любого многочлена.

Правило: чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения сложить: $a(b - c + d) = ab - ac + ad$.

Запомните:

1. В каждом произведении коэффициенты перемножаются, а показатели степеней с одинаковыми основаниями складываются: $2x^{2} \cdot 3x^{3} = 6x^{5}$.

2. Если одночлен отрицательный, знак каждого члена в скобке меняется: $$.

Пример 1: $2x^{3} - 2x(x^{2} - 4x + 3) + 6x - 4 = 2x^{3} - 2x^{3} + 8x^{2} - 6x + 6x - 4 = 8x^{2} - 4$.

Пример 2: $3x(x - 2) - x(3x + 1) = 14$. Раскрываем скобки: $3x^{2} - 6x - 3x^{2} - x = 14$, то есть , .

Пример 3: $\dfrac{x(2x + 3)}{6} - \dfrac{x^{2}}{3} = 2$. Умножаем обе части на : , , .

Частая ошибка: умножать только первый член скобки: $3x(2x - 5) = 6x^{2} - 5$ (правильно $6x^{2} - 15x$); при умножении на отрицательный одночлен менять знак только у первого члена: (правильно ); не складывать показатели: (правильно ).