2.6. Умножение многочлена на многочлен

Правило умножения многочлена на многочлен: каждый член первого многочлена умножаем на каждый член второго многочлена и полученные произведения складываем. В результате снова получается многочлен: $(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd$.

Почему так? Принимаем двучлен $a + b$ за одно число и дважды применяем правило умножения одночлена на многочлен: $(a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d = ac + bc + ad + bd$.

Правила:

1. Геометрический смысл: площадь прямоугольника со сторонами $a + b$ и $c + d$ равна сумме площадей четырёх частей (на рисунке).

2. При умножении многочлена из $m$ членов на многочлен из $n$ членов до приведения подобных получается $m \cdot n$ произведений. Чтобы не пропустить ни одного, умножаем по порядку или составляем таблицу.

Пример 1: $(x + 3)(x - 5) = x^{2} - 5x + 3x - 15 = x^{2} - 2x - 15$.

Пример 2: $(2a - b)(a^{2} + 3ab - b^{2})$ — $$ произведений (в таблице). Приводим подобные члены: .

Пример 3: $(x + 2)(x - 3) - x(x + 1) = 4$. Раскрываем скобки: $x^2-x-6-x^2-x$, , .

Частая ошибка: перемножать только первые и только последние члены: писать $(x + 3)(x - 5) = x^{2} - 15$; ставить неверный знак произведения; писать $(a+b{)}^2=$ (правильно ).