2.7. Деление одночлена и многочлена на одночлен

Деление — действие, обратное умножению. Запись $A : B = C$ ($B \ne 0$) означает, что $C \cdot B = A$. Перед делением делимое и делитель приводим к стандартному виду.

Правила:

1. Условие того, что частное — одночлен: каждая переменная делителя должна входить и в делимое, причём её показатель в делимом должен быть не меньше, чем в делителе. Например, частное $6x^{2}y : (2xy^{3})$ не является одночленом: показатель $y$ в делимом равен $$, а в делителе .

3. Степень частного равна разности степеней делимого и делителя.

4. Правило деления многочлена на одночлен: делим каждый член многочлена на одночлен и складываем результаты: $(a + b - c) : m = a : m + b : m - c : m$. Частное не всегда является многочленом: в частном получается — такие выражения изучаются позже.

5. Проверка: частное $\cdot$ делитель $=$ делимое. Отсюда находим неизвестное: делимое $=$ частное $\cdot$ делитель; делитель $=$ делимое $:$ частное.

6. Деление записывают и в виде дроби: $$. Чтобы найти значение выражения, удобно сначала выполнить деление, а затем подставить числа. Переменные не принимают значений, при которых делитель равен нулю.

Пример 1: $12a^{5}b^{3} : (-4a^{2}b) = (12 : (-4)) \cdot a^{5-2} \cdot b^{3-1} = -3a^{3}b^{2}$. .

Пример 2: $(6x^{3} - 9x^{2} + 3x) : 3x = 6x^{3} : 3x - 9x^{2} : 3x + 3x : 3x = 2x^{2} - 3x + 1$.

Пример 3: площадь прямоугольника $(8a^{2}b + 4ab)$ см², ширина $4ab$ см. Длина: $(8a^{2}b + 4ab) : 4ab = 2a + 1$ (см).

Частая ошибка: писать $3x : 3x = 0$ или терять этот член (правильно $1$); делить показатели вместо вычитания: $x^{6} : x^{2} = x^{3}$ (правильно ); не менять знаки членов частного, когда делитель отрицательный.