2.8. Вынесение общего множителя за скобки

Запись многочлена в виде произведения нескольких многочленов (одночленов) называют разложением многочлена на множители. Самый простой способ — вынесение общего множителя за скобки. Он основан на распределительном свойстве умножения: $ab + ac = a(b + c)$.

Правило нахождения общего множителя:

1. Находим наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов.

2. Каждую переменную, входящую во все члены, берём с наименьшим показателем степени.

3. Делим каждый член многочлена на общий множитель — частные записываем в скобках. В скобках столько же членов, сколько в исходном многочлене: на месте члена, равного общему множителю, остаётся $1$.

4. Проверка: умножив общий множитель на скобку, должны получить исходный многочлен.

5. Если первый член отрицательный, общий множитель можно вынести со знаком «−». Тогда знак каждого члена в скобках меняется: $-4x - 6y = -2(2x + 3y)$.

6. Общим множителем может быть и многочлен: $x(a-b)+y(a-b)=(a-b)(x+y$. При необходимости используем равенство .

Пример 1: $6a^{3}b - 9a^{2}b^{2} = 3a^{2}b(2a - 3b)$: НОД, наименьшая степень — , наименьшая степень — .

Пример 2: $a(x - y) - b(y - x) = a(x - y) + b(x - y) = (x - y)(a + b)$.

Пример 3: $x^{2} - 5x = 0$, то есть $x(x - 5) = 0$. Тогда $$ или .

Пример 4: $7^{10} - 7^{9} = 7^{9}(7 - 1) = 6 \cdot 7^{9}$, значит, это число делится на . Аналогично .

Частая ошибка: потерять $1$: писать $4x^{2} + x = x \cdot 4x$ (правильно $x(4x + 1)$); выносить общий множитель не полностью: (в скобках ещё остался множитель , правильно ); делить уравнение на и терять корень .