2.9. Разложение многочлена на множители способом группировки

Иногда у всех членов многочлена нет общего множителя, но если разбить члены на пары (группы), то в каждой группе общий множитель находится. Такое разложение называют способом группировки:

$$ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b).$$

Алгоритм способа группировки:

1. Разбиваем члены многочлена на группы, имеющие общий множитель (в группах одинаковое число членов). Шесть членов можно разбить на три группы по два или на две группы по три: $am + bm + cm + an + bn + cn = m(a + b + c) + n(a + b + c)$.

7. Применение: рациональное вычисление значений выражений, доказательство тождеств, решение уравнений. Если произведение равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю.

Пример 1: $x^{3} - 2x^{2} + 3x - 6 = x^{2}(x - 2) + 3(x - 2) = (x - 2)(x^{2} + 3)$.

Пример 2: $27 \cdot 13 + 27 \cdot 7 - 13 \cdot 7 - 7^{2} = 27 \cdot (13 + 7) - 7 \cdot (13 + 7) = 20 \cdot 20 = 400$.

Пример 3: $x^{3} - 3x^{2} + 2x - 6 = 0$. Левая часть: $x^{}$. , поэтому , .

Частая ошибка: не менять знак в скобке после «−»: писать $-bx + by = -b(x + y)$ (правильно $-b(x - y)$); не доводить разложение до конца: — это ещё не произведение, а сумма.