3.1. Понятие функции. Аргумент, область определения, множество значений

Зависимость, при которой каждому значению одной переменной соответствует единственное значение другой переменной, называют функцией (функциональной зависимостью). Переменная $x$, которая меняется свободно, — независимая переменная или аргумент, а зависящая от неё $y$ — зависимая переменная или функция. Запись: $y = f(x)$ («игрек равно эф от икс»). Значение $y$ при $x = a$ — значение функции, его обозначают $f(a)$.

1. Примеры из жизни: площадь квадрата зависит от его стороны: $S = a^{2}$; путь при скорости $60$ км/ч зависит от времени: $s = 60t$; стоимость $m$ штук товара по цене тг: .

3. Область определения $D(f)$ — все значения, которые принимает аргумент. Множество значений $E(f)$ — все значения, которые принимает функция.

4. Если область определения не указана, берут все $x$, при которых выражение имеет смысл. Знаменатель дроби не равен нулю: $y = 30x$ — любое число; — ; — . В задачах из жизни ограничивает и смысл величин: время и длина не бывают отрицательными, число людей — натуральное число.

7. Если при увеличении аргумента значение функции увеличивается, функция возрастающая, если уменьшается — убывающая: стоимость в зависимости от цены — возрастающая, время пути в зависимости от скорости — убывающая.

Пример 1: функция задана таблицей:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|}\hline x & 1 & 2 & 3 & 4 \\ \hline y & 5 & 7 & 5 & 9 \\ \hline \end{array}$$

Здесь $D = \{1;\ 2;\ 3;\ 4\}$, $E = \{5;\ 7;\ 9\}$.

Пример 2: $y = 3x - 2$, $-3 \le x \le 3$. Умножаем все три части на $3$: $-9\le$; вычитаем : . Значит, : .

Пример 3: аргумент, при котором значение функции $f(x) = \dfrac{6}{x + 3}$ равно $2$: $2(x+3)=$, . .

Частая ошибка: путать $D$ и $E$; считать, что повтор значений $y$ в таблице означает «не функция» (не должны повторяться $x$); искать множество значений только по крайним точкам графика; писать $x \ne -4$ для .