3.10. Функция y = ax², её график и свойства

Функция $y = ax^{2}$ — здесь $a$ — данное число, не равное нулю, $x$ — аргумент. Например, $y = x^{2}$, $y = 3x^{2}$, $y = -\dfrac{1}{2}x^{2}$. Область определения — все числа.

1. График функции $y = ax^{2}$ — парабола. Точка $(0;\ 0)$ — вершина параболы, ось $Oy$ — её ось симметрии, части по обе стороны от оси — ветви параболы. Чтобы построить график, составляем таблицу значений, отмечаем точки и соединяем их плавной кривой.

2. Симметрия: $(-x)^{2} = x^{2}$, поэтому при $x$ и $-x$ значения функции равны: . Если точка принадлежит графику, то и точка тоже принадлежит.

5. Принадлежит ли точка? Нахождение $a$. Подставляем координаты точки в формулу. Если парабола проходит через точку $(x_0;\ y_0)$ ($x_0 \ne 0$), то , откуда .

Пример 1: парабола $y = ax^{2}$ проходит через точку $A(-2;\ 12)$: $a \cdot (-2)^{2} = 12$, , .

Пример 2: для $y = -0{,}5x^{2}$ при $x = 4$ получаем $y = -0{,}5 \cdot 16 = -8$. По симметрии точка тоже лежит на графике.

Пример 3: свободно падающее тело за $t$ секунд пролетает примерно $h = 5t^{2}$ метров: за $2$ секунды — $5 \cdot 4 = 20$ м.

Частая ошибка: путать $-x^{2}$ и $(-x)^{2}$ (при $x = 3$ имеем $$, а ); вычислять вместо (при получаем , а не ); записывать у уравнения только корень и забывать корень .