3.11. Функция y = ax³, её график и свойства

Функция $y = ax^{3}$ ($a \ne 0$) — функция, которая задаётся умножением куба $x$ на число $a$. Например, $y = x^{3}$, $y = 2x^{3}$, $y = -\dfrac{1}{2}x^{3}$. И область определения, и множество значений — все числа. Её график называется кубической параболой.

1. График $y = x^{3}$ строится по точкам: $(-2;\ -8)$, $(-1;\ -1)$, , , . График проходит через начало координат, а — единственный нуль функции.

2. Симметрия: $(-x)^{3} = -x^{3}$, поэтому противоположным значениям $x$ соответствуют противоположные значения $y$. Если принадлежит графику, то и принадлежит: график .

5. Точка и коэффициент $a$: принадлежит ли точка графику — проверяем, подставив её координаты в формулу. Если график проходит через точку $M(x_0;\ y_0)$ ($x_0$), то .

Пример 1: $-1{,}5 < -1{,}2$, поэтому $(-1{,}5)^{3} < (-1{,}2)^{3}$.

Пример 2: график $y = ax^{3}$ проходит через $A(2;\ -4)$: $-4 = a \cdot 8$, . График лежит во II и IV четвертях.

Пример 3: графики $y = x^{3}$ и $y = x$ пересекаются в точках, где $x^{3} = x$: , , . Объём куба — тоже такая функция.

Частая ошибка: терять знак, считая $(-2)^{3} = 8$ (правильно $-8$); думать, что уравнение $x^{3} = -27$ не имеет решений; путать график с параболой — кубическая парабола симметрична не относительно оси , а относительно начала координат.