3.12. Функция y = k/x, её график и свойства

Обратная пропорциональность — функция, заданная формулой $y = \dfrac{k}{x}$, где $x$ — независимая переменная, $k$ — число, не равное нулю, его называют коэффициентом пропорциональности. Произведение соответствующих значений постоянно: $xy = k$. Поэтому если $x$ увеличить в несколько раз, то $y$ уменьшится во столько же раз. Например, время на путь $120$ км обратно пропорционально скорости: $t = \dfrac{120}{v}$.

1. Делить на нуль нельзя, поэтому область определения — все числа, кроме $0$ ($x \ne 0$). Значение $0$ функция не принимает: множество значений — все числа, кроме $0$ ($y \ne 0$). Значит, график не пересекает ни ось , ни ось .

3. При $k > 0$ функция убывает и на промежутке $x < 0$, и на промежутке $x > 0$; при $k < 0$ на каждом из этих промежутков она . Чем больше , тем дальше ветви от осей.

4. Симметрия: если точка $(a;\ b)$ лежит на графике, то и точка $(-a;\ -b)$ лежит на нём — гипербола симметрична относительно точки $O$. График $y = -\dfrac{k}{x}$ симметричен графику относительно оси .

Пример 1: график $y = \dfrac{k}{x}$ проходит через $A(-3;\ 4)$. $k=-3$, то есть ; ветви во II и IV четвертях.

Пример 2: точка $B(6;\ -2)$ лежит на графике $y = -\dfrac{12}{x}$, так как $6$.

Пример 3: $3$ рабочих выполняют работу за $8$ дней. Число рабочих и число дней обратно пропорциональны: $n \cdot t = 24$. $6$ рабочих справятся за $24 : 6 = 4$ дня.

Частая ошибка: вычислять $k$ как $\dfrac{y}{x}$ (правильно $k = xy$); говорить «при $$ функция убывает на всей области определения» — но ; рисовать гиперболу пересекающей оси.