3.6. Линейная функция y = kx + b и её график

Линейная функция — функция, заданная формулой $y = kx + b$ (или $f(x) = kx + b$), где $x$ — независимая переменная (аргумент), $k$ и $b$ — данные числа. $k$ — угловой коэффициент, $b$ — свободный член. Например, $y = 2x - 3$, $y = -\dfrac{1}{2}x + 4$, $y = 5$ — линейные функции. Область определения — все числа.

1. График линейной функции — прямая. Для его построения достаточно двух точек: даём $x$ два значения, вычисляем значения $y$, отмечаем точки и проводим через них прямую.

2. Точки пересечения с осями: при $x = 0$ получаем $y = b$, то есть прямая пересекает ось $Oy$ в точке $(0;\ b)$. При получаем , откуда () — абсцисса точки пересечения с осью .

5. Принадлежит ли точка графику? Подставляем координаты точки в формулу: если получилось верное равенство — принадлежит, если нет — не принадлежит.

6. Нахождение формулы. Если прямая проходит через точки $A(x_1;\ y_1)$ и $B(x_2;\ y_2)$, подставляем обе точки в и находим и . Короче: , затем . По графику: — ордината точки пересечения прямой с осью , а — изменение при увеличении на единицу.

Пример 1: $y = 2x - 3$. При $x = 0$ получаем $y = -3$, при $x=$ получаем . Прямая проходит через и и пересекает ось в точке .

Пример 2: прямая проходит через точки $(-1;\ -1)$ и $(2;\ 5)$: $k = \dfrac{5 - (-1)}{2 - (-1)} = 2$, . Значит, .

Пример 3: в сосуде $2$ л воды, в него наливают $0{,}5$ л воды в минуту. Объём воды через $t$ минут $V = 0{,}5t + 2$ — линейная функция ($k=$, ).

Частая ошибка: путать $k$ и $b$ (для $y = 5 - 4x$ имеем $k = -4$, ); терять знак при нахождении пересечения с осью (для получаем , а не ); считать прямую параллельной оси .