3.7. Взаимное расположение графиков линейных функций

Графики линейных функций — прямые. Две прямые на плоскости либо пересекаются в одной точке, либо параллельны (общих точек нет), либо совпадают (все точки общие). Графики функций $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$:

1. при $k_1 \ne k_2$ — пересекаются (ровно одна общая точка);

2. при $k_1 = k_2$, — ;

4. Нахождение точки пересечения. Приравниваем правые части формул: $k_1x + b_1 = k_2x + b_2$. Из этого линейного уравнения находим , подставляем его в любую из формул и вычисляем . Если , прямые пересекаются на оси , в точке .

7. Через какие четверти проходит прямая — зависит от знаков $k$ и $b$:

$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline & b > 0 & b < 0 \\ \hline k > 0 & \text{I, II, III} & \text{I, III, IV} \\ \hline k < 0 & \text{I, II, IV} & \text{II, III, IV} \\ \hline \end{array}$$

При $b = 0$ прямая проходит через точку $O$; при $k = 0$ прямая параллельна оси $Ox$.

Пример 1: $y = 2x - 1$ и $y = -x + 5$. $2x - 1 = -x + 5$, , , . Точка пересечения — .

Пример 2: прямая, параллельная прямой $y = -3x + 1$ и проходящая через $M(2;\ -1)$: $k = -3$, , . Значит, .

Пример 3: если графики $y = (m + 1)x + 2$ и $y = 3x - 4$ параллельны, то $m$, (их различны: ).

Частая ошибка: сравнивать только $k$ и не проверять $b$ (если равны и $k$, и $b$ — прямые совпадают, а не параллельны); считать, что у функции $y = 3(x + 1)$ (на самом деле , ); для перпендикулярной прямой брать (нужен знак минус); найти только точки пересечения и забыть про .