3.8. Линейное уравнение с двумя переменными и его график

Линейное уравнение с двумя переменными — уравнение вида $ax + by = c$, где $x$ и $y$ — переменные, $a$, $b$, $c$ — данные числа. $a$ и $b$ — коэффициенты при переменных, $c$ — свободный член. Например, $2x + 3y = 6$, $x - y = 0$, $5x = 10$ (здесь $b = 0$).

1. Решение уравнения — пара чисел $(x;\ y)$, обращающая уравнение в верное равенство. Для проверки подставляем значения $x$ и $y$ в уравнение. Порядок в паре важен: сначала $x$, затем $y$. Например, — решение уравнения , а — не решение. Такое уравнение имеет бесконечно много решений.

4. Частные случаи. Если $a = 0$, то $by = c$ — прямая, параллельная оси $Ox$ (например, $y = -2$). Если , то — прямая, параллельная оси (например, ). Последняя прямая не является графиком никакой функции: одному соответствует бесконечно много . Если , прямая проходит через начало координат.

5. Неизвестный коэффициент. Если прямая проходит через данную точку, подставляем координаты точки в уравнение и находим неизвестный коэффициент.

6. Натуральные решения. В текстовых задачах (монеты, количество предметов) переменные — натуральные числа. Такие решения находим перебором, их число конечно.

Пример 1: $2x + 3y = 6$. При $x = 0$ получаем $y = 2$; при $y=0$ получаем . Прямая проходит через точки и .

Пример 2: прямая $ax - 2y = 8$ проходит через точку $(2;\ -1)$: $2a + 2 = 8$, значит, .

Пример 3: нужно вернуть $320$ тг монетами по $20$ и $50$ тенге: $20m + 50n = 320$, то есть $2m + 5n = 32$. Натуральные решения: , , — три способа.

Частая ошибка: путать порядок координат в паре; при выражении $y$ переносить слагаемое в другую часть, не меняя знак (писать $3y = 6 + 2x$ из уравнения $2x + 3y = 6$); считать прямую параллельной оси .