3.9. Графический способ решения систем линейных уравнений

Система двух линейных уравнений с двумя переменными — два линейных уравнения, рассматриваемые вместе, например $\begin{cases} y = x + 1 \\ x + y = 5 \end{cases}$. Решение системы — пара чисел $(x;\ y)$, которая обращает оба уравнения в верные равенства. График каждого уравнения — прямая, поэтому решение системы — общая точка двух прямых.

Алгоритм графического способа:

1. В каждом уравнении выражаем $y$ через $x$, приводя его к виду $y = kx + b$: $x + y = 5 \Rightarrow y = -x + 5$.

Число решений (прямые $y = k_1x + b_1$ и $y = k_2x + b_2$):

5. $k_1 \ne k_2$ — прямые пересекаются, система имеет единственное решение.

6. $k_1 = k_2$, — прямые параллельны, система (ответ: ).

8. Если система задана в виде $A_1x + B_1y = C_1$, (коэффициенты не равны нулю): — единственное решение; — решений нет; — решений бесконечно много.

Пример 1: $\begin{cases} y = x + 1 \\ x + y = 5 \end{cases}$. Прямая $y = x + 1$ проходит через и , прямая — через и . Они пересекаются в точке . Проверка: , . Ответ: .

Пример 2: в системе $\begin{cases} x - 2y = -2 \\ x - 2y = 4 \end{cases}$ получаем $y=$ и : одинаковые, разные — прямые параллельны, решений нет.

Пример 3: в системе $\begin{cases} 2x + y = 3 \\ 4x + 2y = 6 \end{cases}$ второе уравнение получается умножением первого на $$. Оба дают — прямые совпадают, решений бесконечно много.

Частая ошибка: менять местами $x$ и $y$ в ответе (точка записывается в порядке $(x;\ y)$); терять знак, выражая $y$ ($2x + y = 7 \Rightarrow y = 7 - 2x$, а не ); путать параллельные и совпадающие прямые; не проверять ответ, прочитанный по рисунку.